怎么解释潮汐现象？《张朝阳的物理课》计算潮汐高度

如何理解潮汐现象？潮汐高度怎么计算？4月24日12时，《张朝阳的物理课》第四十八期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，建立了完善方便的坐标系，将上节课求得的离心势能与月球引力势能表达出来，通过求解势能的梯度，可得到潮汐力的大小和方向。接着引入地球的引力势能，联立离心势能与月球引力势能方程，求解总势能的等势面，以求得海水高度随坐标的变化规律，结合地球的自转解释了潮汐现象。最后利用潮汐现象说明月球逐渐远离地球的原因。

潮汐势能与潮汐力

上节课，张朝阳已经通过计算表明，地球与月球的运动是绕系统质心以角速度ω旋转的圆周运动。选取旋转参考系使地球与月球在此系相对静止，可以得到质量为m0的质点在这个坐标系下的离心力势能与月球引力势能：

9 ~) a& t; C* x5 n0 e

其中x是参考点到地月质心的距离，l是参考点到月球中心的距离，若想进一步利用这个势能计算潮汐力和潮汐高度，需要建立更具体的坐标系来描述参量x与l。张朝阳选取了如下图的坐标系：

( H0 o! ]5 W2 c8 Q. H& u. f. d

（张朝阳建立坐标系表达离心势能与月球引力势能）

如上图所示，以地球中心为原点，选取Zm轴为地球中心指向月球中心，选取Ze轴平行于地月系统绕质心的旋转轴，建立如图所示的球坐标系。那么地球上的点可以用球坐标（R，θe，φ）表示，但参量l同时与θe和φ有关，并且关系表达式相对复杂。于是根据系统对称性引入另一坐标θm，它为参考点位移方向与Zm轴的夹角，而参量l只由θm决定，另外参考点在Zm轴上的投影可写为：

$ g2 ]( b" O" g3 ~

由此可以将传统球坐标系里的坐标φ代换成θm，球上的点可用（R，θe，θm）来表示。

# Y& I. t$ N4 r

建立好坐标系后，就可以将x与l具体用坐标表达出来。如上图所示，在垂直于Ze轴的平面上看包含x的直角三角形，利用勾股定理可得：

将求得的x代回离心力势能的表达式，就能得到Uc在此坐标系下的表达：

5 M" q/ Q( P) P2 r2 m! f% W- B

* n: l1 R8 h$ W1 O0 }3 c

分析完离心力势能，再来看引力势能。选取地球中心，月球中心和质点位置构成的三角形，如上图所示，利用勾股定理能得出l的值：

# }8 {- B& r$ v }- \

将求得的l代回月球引力势能的表达式，就能得到Ug在此坐标系下的形式。由于R约为地球半径，相比于地月距离非常小，所以Ug可以按照R/r展开：

; J) x. D) g$ P0 }$ P* K; v

" I6 t8 l" P6 I. w

最终得到的离心力势能与月球引力势能的和为：

7 _- z. {. `3 }5 V

! L% e" v2 C" ~) x0 c

这个势能有三项，第一项与坐标无关，是个常数。它相当于势能零点不会贡献力。第三项只与θe有关，由于它关于地球自转轴是旋转对称的，其引起的海面高度的变化不能被跟随地球自转的观察者发现。而第二项与θm有关，它并不是关于地球自转轴旋转对称的，所以一旦地球自转起来，地球上的观察者将能发现它引起的海面高度的变化，它才是引起潮汐力的势能。为了方便书写，之后的Uc+Ug只是指上式中的第二项。

（张朝阳写出了势能在坐标系下的表达）

* I7 n; O, e1 R/ C# v* o7 v

有了潮汐力的势能，对其求梯度，就可以得到潮汐力的大小和方向了：

9 }* C+ \5 A) ?9 K! s1 H

5 ?# E6 A7 \8 p2 k* x h

可以发现潮汐力在Zm轴上是从地心向外的，而在θm=π/2的环上，潮汐力是指向地心的，其它θm位置处潮汐力方向介于这两者之间，如下图所示：

0 ~+ y" p3 b3 B+ \

; H) g. c0 f& j, N! z

从上图明显看出，潮汐力在地球表面是非常不对称的，可以想象它会影响地球表面海水高度的分布。

潮汐高度的计算

对于像水这样的流体，如果其表面的力有平行于其表面的分量，那么水就会流动，不能保持静止恒定。所以，在一个势场中的水，如果达到静止，它的表面受到的力是垂直于其表面的，由于力是负的势能梯度，这说明水的表面就是势场的等势面。地球上的海水拥有的势能不仅仅是之前计算过的离心势能和月球引力势能，还包含了地球本身的引力势能。若地球半径为R，地球质量为m1，海水高度为h，那么质量为m0的海水具有的地球引力势能为：

; N; C0 t1 g' L$ g

8 l2 G: ?) K# ^( Z

此处h0为常量。化简过程中用到了关系式g=G*m1/R^2。从h的表达式可以看出，当θm=0和θm=π时，h取得最大值，这说明在Zm轴上的海水高度最高，而当θm=π/2时候，此时海水高度最小。从先前求得的潮汐力的表达式也可以解释这种高度的变化，潮汐力在Zm轴上是从地心向外的，将海水向远离地心的方向拉扯，而在θm=π/2的环上，潮汐力是指向地心的，将海水向地心方向下压。地球若沿着轴Ze自转起来，赤道的人会先后经过海水高度最大值点θm=0，π和最小值点θm=π/2，他会发现海水高度在h的最大值与h的最小值之间变化，这就是潮汐现象。

为了计算潮汐高度，将具体参数值代入h的表达式中，可以求得h的最大值为0.36 m + h0，而h的最小值为 -0.18 m + h0，潮汐高度就是最高值减去最小值为0.54m，这就是在赤道上随地球自转的观察者所观察到的由潮汐作用引起的海水高度的最大变化值。

& m) o0 a2 J4 D5 F# k5 |

( W$ `. p& U; U, E3 Q

（张朝阳计算潮汐高度）

9 }' a5 q+ k6 l I* z- @, U1 R

最后，张朝阳利用潮汐给网友解释了月球远离地球的神奇现象。前面说过，水的表面是势场的等势面，但这只在水是静态的情况下达到。

实际上地球是有快速的自转的，它会带动海水一起转。由于海水的惯性，水不能时时刻刻达到静态平衡，在地球旋转的拖动下，原本在θm=0和θm=π的最高海面点会跟随地球转动一个小角度，这导致潮汐引起的地球海水的形变不再是随Zm轴旋转对称的，那么地球给月球的引力将不再准确地指向地球，这导致月球的位移叉乘地球的引力不再是零，即地球的引力对月球的力矩不再是零，那么月球的角动量必然变大，而轨道运行半径与其角动量的平方成正比，所以月球运行的轨道半径将增大而逐渐远离地球。

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。

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