流函数 是空间中的一个场，用它可以表示平面不可压缩流体的速度：8 G3 V/ g7 g& V9 f8 q7 ^
& Y' ?9 n6 W# B: M
3 T! ]6 M0 n8 Z9 `+ X8 w8 ^8 h4 W
' v3 ^% C8 ]( i8 L. l8 }* x! @' P2 f
" v7 Z' Z0 M" B7 y' }9 C
这样二维平面上的连续方程就能自动满足。
+ _% }) e- g* ?5 t( G- Y我们的目标是要根据这两个式子求流函数标量场。可以想象，这两个式子规定了场 在 方向和 方向的变化，并不涉及具体的数值。因此，我们需要给定一个流函数的积分零点（求 ; S, ?+ k+ R; K5 w; z0 j
实际就是求积分），我们可以设: , Z8 q( n- v( @8 u2 z; A% o
+ A. ~1 R# W4 U7 ~% ^8 Z4 w
, B& b) D* N5 I' G9 N从这个点积分到任一点 。首先， 对y积分，有：, e; Y; Q" M8 c. u' P! k# X* Z1 P
- b- \3 l+ {' n- p
" W" c, f/ K) M! k
0 _3 |0 `- X/ \8 h; x8 D0 Q7 c9 q6 x1 M1 |) ]% n4 C
# S- h2 D1 K* N( u3 T
左边的积分式子，可以直接根据速度场求解，即： ~% W( N9 z' I! h* A4 u, Q6 r1 K
3 w8 R% q: ~$ w R. |
现在只需要求出 ，就能求出我们需要的 。通过观察发现，在 中令 即可得到我们想要的结果：
" Q8 e& u' N' S& ^+ g! q8 _
( U o# }& w4 m, L1 W/ j
3 C8 ]; m; Y8 m0 O
9 z6 ]' q+ [, ]' |6 s; \最终有：" X5 ^0 \8 K5 U% _# L" Z- ?
5 i$ ~ P# r; ?9 S0 p$ B/ _5 X( m, R9 v
或者可在 中令 代入 ，有：
9 m. i j: [' o8 E# w, g
$ c8 x4 V8 Q. }8 z" y8 Y& `) q: b, k- T8 t+ {
6 s' a% G4 n% M4 F" _+ E9 t. m( @
这样，利用 和 就可以进行流函数的编程计算。
0 S, e7 L- Z. I" n6 r2 ^. @" t- u J/ Z7 v. r8 C- w4 V- W
值得注意的是，可以对求得的流函数加减常数，以使需要的陆地岸界为0。1 P7 c8 _! |2 q. f; v5 v; a. B% T
4 h1 h' y) a. s/ P7 D
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