MATLAB应用——数据分析与统计

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

" ~- D1 E; Y; ?5 C& s

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

0 A6 P* |/ \" g0 H7 y9 n% t9 R' K

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

load count.dat

mx=max(count)

: J& a2 H$ ]( q3 Y3 i0 D( O

mx = 114 145 257

6 ^* J& L, z) r7 [

mu=mean(count)

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

sigma=std(count)

/ D7 q. y" b/ [$ J. A$ o9 z! i

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

" n: E/ \+ L7 q6 Q$ N3 R! g. @

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

) L8 V" D- e: Y

[mx,indx]=min(count)

mx = 7 9 7

indx = 2 23 24

1、协方差和相关系数

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

5 R/ w' S9 |% u9 b

cv=cov(count)

cv = 1.0e+003 *

0.6437 0.9802 1.6567

6 _, C% u. ]7 g

0.9802 1.7144 2.6908

+ X9 h" z* u5 Z

1.6567 2.6908 4.6278

cr=corrcoef(count)

cr =

8 E" p% O3 V* ?# q4 @8 _. w

1.0000 0.9331 0.9599

0.9331 1.0000 0.9553

0.9599 0.9553 1.0000

. y) O; L$ e) \( T! }3 N% g3 c

2、数据预处理

4 I% ^, C7 n/ u2 F9 r

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

" c- j1 M- n1 k5 {

sum(a)

ans = 13 NaN 13

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

9 Q6 r9 ]/ n: y5 O9 k8 A

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

* `3 H7 k+ J7 d$ h7 ~

(3)  x=x(~isnan(x))。

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

5 B% R3 t* [, {9 [1 K w8 g1 Z

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

3、回归和曲线拟合

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

' X& N8 _9 ~8 q" U/ [

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

: i5 X+ v% T# S" H2 d/ ~

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

0 V+ o7 M" e7 M1 I9 |! Y/ C% F# ]

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

2 c4 f$ Q& A! R9 ^. T4 U) m# {

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

- Y2 f! P6 V5 E. C6 m

a=X1\y;

4 f% S7 Y2 [$ k7 I; K! K

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

b=X2\y;

$ g4 M, r7 }- _

T=[0:.1:2.5];

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

0 Q1 ?% U6 B0 o. T. z0 G2 p

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

figure(1)

subplot(1,2,1)

! ~( A! j& E) i4 Q1 _

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

title(多项式回归)

subplot(1,2,2)

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

title(指数函数回归)

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

$ R" v r |7 K5 o u2 p4 |5 O D& ]

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

1 G4 U6 t' C1 W1 K' g# a

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

采用来拟合，则有

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

- M) ^5 [' B2 ?1 n5 E

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

, q( g& X! A/ w0 O* U* V% `

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

) a. o2 T2 A& }# ~9 Z

a=X\y

+ E7 y3 R: U' e

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

$ T. p% `# i. G+ }# ?

因此数据的拟合模型为

/ L6 m3 B4 U* z* Y- F

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

! k0 u$ z; D; x; L

4、傅里叶分析与FFT

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

- B9 [9 f3 m. l- ]5 s7 E5 K3 C4 N5 t

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

t=0:1/119:1;

1 z. ]# @+ Z2 u4 D2 u5 _

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

y=fft(x);

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

6 ]$ `& v% k8 T

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(多频率混合信号)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

! T `; \! ~1 N' O1 U( k

subplot(2,1,2),plot(f,m)

, E) D) f( Y( l) I5 `

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

6 C" t, ? K1 |/ L8 {) W# o! d

t=0:1/199:1;

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

- o' D$ n7 w9 \0 `* Q/ P' b

y=fft(x);

m=abs(y);

2 W' T7 t! @( q% X) ?

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

1 c3 ]& Y1 ~3 M2 Q7 M- a

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(信号检测)

o7 F& O# I7 f: S% ]

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

4 e8 c' k0 d! t% H7 k$ h+ t

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

" ?& a1 _ m* M5 W \

load sunspot.dat

- c3 a& ?* W- R) \$ r- u

year=sunspot(:,1);

wolfer=sunspot(:,2);

# F4 c# I/ u4 W

figure(1)

' v6 P/ ?0 N! }' W; ]

subplot(2,1,1)

plot(year,wolfer)

title(原始数据)

p/ [5 z/ O3 X" @8 G# G+ n

Y=fft(wolfer);

! o# y- T1 o. ^, h1 ?+ o7 v! U

N=length(Y);

, B4 T1 s$ d) }. S

Y(1)=[];

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

nyquist=1/2;

/ J% X/ q% b; ?* ~' e* r& Q

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

period=1./freq;

subplot(2,1,2)

& `! u5 ^4 _2 _4 O

plot(period,power)

title(功率谱), grid on

axis([0 40 0 2e7])

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

+ j! B& n+ E: u5 {( q- F9 V ! p/ @3 N p, W2 C ; _ s1 g" w& j8 \, n