流函数 是空间中的一个场，用它可以表示平面不可压缩流体的速度：1 m8 |/ Q% b5 ^& l+ R# E
7 O6 x4 z8 M" {8 V. e8 L# G- J- b* O" W+ ~+ W
6 M7 j1 Q2 h- @+ \
, j; G0 [- a- j) y; e }9 A( B6 I; l
, G2 o- B+ e! O这样二维平面上的连续方程就能自动满足。2 Q, C9 w, M2 a5 J
我们的目标是要根据这两个式子求流函数标量场。可以想象，这两个式子规定了场 在 方向和 方向的变化，并不涉及具体的数值。因此，我们需要给定一个流函数的积分零点（求 6 ^6 [9 T$ `9 x1 N5 M$ k3 j8 r
实际就是求积分），我们可以设:
$ {( K5 \4 z1 V- q \$ ~* T% e3 T7 o$ f2 _: d9 |0 j
/ |2 G! D3 i6 W. O2 D从这个点积分到任一点 。首先， 对y积分，有：
9 G# G% s Q& {+ X3 }1 z( p7 h
1 V$ o: d) N3 L2 r3 X; z$ [( I3 a/ @3 _
- ^( ^/ [: u3 Q2 l, R6 s9 v P, o- a; K3 H3 F7 |. [& i
! q5 p/ N! Q) A& R+ i+ N
左边的积分式子，可以直接根据速度场求解，即：
( g( j' X# i x/ N
* G) I* y& _1 s2 h4 p" J现在只需要求出 ，就能求出我们需要的 。通过观察发现，在 中令 即可得到我们想要的结果：
: c% |' V5 m5 }7 K: ?* }3 b9 C6 d( z% q
8 T4 g/ k- ~& J1 e7 \5 t; F
) J5 R" o" | {" |最终有：
' @5 h( O# o" c& L' Q
; M6 Q/ h# i2 _0 Z% o2 ]
7 O" z1 R$ d$ c# V+ [或者可在 中令 代入 ，有：
9 W# E' s) G! C* ]% d. N
( W/ t& F8 O7 F4 T& R9 L% w0 U
# a9 y" Q9 N6 d/ _, X" `8 k; s; ]/ V; v2 s O/ C
这样，利用 和 就可以进行流函数的编程计算。7 ]" Q7 U" d! a0 n3 C# i
# U& u8 n) q* S# Z0 Q U
值得注意的是，可以对求得的流函数加减常数，以使需要的陆地岸界为0。 q8 E- {9 C1 j
6 `- q( b6 k5 Y) B+ r& u; ~ o: o
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