MATLAB应用——数据分析与统计

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

& O" F% g, A! q1 P9 W

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

, y3 V9 E( A* L: }9 W! h

load count.dat

. x5 z! V9 _( R- j( N. u

mx=max(count)

* l$ ~6 o3 y6 J- t8 [; p) E4 }

mx = 114 145 257

. l; ^, W4 x, e2 K6 r8 s3 m4 t

mu=mean(count)

" ]1 M. n, A3 C# o, d' e/ F

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

sigma=std(count)

! ]9 }( D8 ?* p( F8 q2 v+ a5 c& l

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

$ X3 N& q/ p( A& _

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

9 N4 ~) j$ }0 }: }3 d- `* F2 q

[mx,indx]=min(count)

mx = 7 9 7

W S" K( A' e

indx = 2 23 24

* _0 Q' M* q/ l0 z0 t& R

1、协方差和相关系数

+ C/ }5 L+ q7 G( f" [5 j

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

" o$ s8 b k) q' ]7 ]

cv=cov(count)

cv = 1.0e+003 *

; P* A4 o' a/ n6 b

0.6437 0.9802 1.6567

0.9802 1.7144 2.6908

6 A8 I5 Q+ w9 M4 @

1.6567 2.6908 4.6278

4 x# `4 R6 |* `

cr=corrcoef(count)

cr =

. R6 H1 _. q) ^ j1 `) v8 z

1.0000 0.9331 0.9599

5 R7 p0 K" M0 E. z

0.9331 1.0000 0.9553

, q+ k+ I1 `( r0 x

0.9599 0.9553 1.0000

2、数据预处理

5 {$ w. ^1 ]6 N

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

+ B; P! P3 g! ^& ~! m

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

$ {: E' l4 f. n, h. e; ^/ O. r

sum(a)

ans = 13 NaN 13

5 i+ z i: w$ T5 C+ _4 }- U

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

9 B$ m7 f" S E% Q' K

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

; n6 d6 n3 \" j. q! e

(3)  x=x(~isnan(x))。

2 s$ l: `4 r% z

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

; t) Y+ Y' R' n0 m, G/ W2 S( ]

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

3、回归和曲线拟合

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

/ G4 |$ X0 }% q* r. l* ^; ]5 ~

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

0 ^ M) T, c# M& C v

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

+ i, J4 K6 w4 i t6 V; x0 Y

a=X1\y;

- K' X# }: t- j' Y4 ^" `* C7 L. C4 n, I1 f

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

b=X2\y;

9 h8 g0 G( _$ }( y

T=[0:.1:2.5];

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

2 I1 }! Q. C1 U+ H$ A, b) t9 A

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

2 y' ]0 z: X7 v$ M

figure(1)

subplot(1,2,1)

/ P- D5 y2 k# V; S6 i5 v

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

/ Z) p2 Y3 X2 H* `& |

title(多项式回归)

% @! D/ A( O! M6 w& a+ p

subplot(1,2,2)

$ R( }3 {' [9 u3 n

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

" j. A& V( x, N7 Q* e% Q% B

title(指数函数回归)

4 m& C4 \ B& }7 M( C) K

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

9 [6 q) H( u- y! G

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

9 \& i2 }# x, o s0 k+ o. k

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

: \! I9 O% }1 X! V2 |$ S7 F

采用来拟合，则有

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

) b5 J' j4 H* k N7 }

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

+ l) n, w% r% A& t/ ?/ z

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

' Q6 H7 }2 Y# X( r% B9 q( {0 `

a=X\y

, n9 F6 n) b* V7 e7 E4 G

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

因此数据的拟合模型为

! M6 H6 K/ c6 W/ `5 a) H

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

6 a+ B _' b, F! W

4、傅里叶分析与FFT

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

o2 S/ F: `3 e. S! {

t=0:1/119:1;

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

! ~/ i; z: G) T7 M5 v( n% ]/ E

y=fft(x);

m=abs(y);

. w" J, G; [! D( e

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

1 t+ t# F. v# K$ x

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(多频率混合信号)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

9 L7 o( p. x9 V1 p$ L4 W- V. S

xlabel(Frequency (Hertz))

9 [, q* V [4 i; [ Z

! r2 y+ G! ]' F% ]

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

t=0:1/199:1;

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

' N$ x5 Q- H9 b B" [( O) W

y=fft(x);

2 @6 d+ o8 [7 u; O2 H

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

/ K! N3 p6 u5 r* W) F+ ~

figure(1)

3 `) A7 n# R6 B1 g4 G: t/ N/ V: i

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

/ |1 e V; W. e( M7 q# M' T

title(信号检测)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

' P; J# t6 H6 }$ ^( p6 _

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

9 `2 m* ^ {" F2 A

xlabel(Frequency (Hertz))

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

8 O( `: T5 k9 q) ]

load sunspot.dat

year=sunspot(:,1);

. {9 Z7 c, _; {0 W c, P( t

wolfer=sunspot(:,2);

figure(1)

subplot(2,1,1)

6 U/ h. S2 u I) `$ H' R% b

plot(year,wolfer)

title(原始数据)

+ A& n; @( r) I. `

Y=fft(wolfer);

' Q: j' I6 m; K7 Y) |

N=length(Y);

Y(1)=[];

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

nyquist=1/2;

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

period=1./freq;

subplot(2,1,2)

# R' N( z8 V. |

plot(period,power)

3 _8 o- a6 j& L/ I' R, w

title(功率谱), grid on

axis([0 40 0 2e7])

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

+ q& o1 y, S) F, w & x! I( ]! \) p- K/ ]7 b